Le transformateur

Après avoir vu les bases de l’ATR, je vais passer aux choses concrètes en modélisant un transformateur à l’aide de la MKME. Nous allons voir que la représentation d’un transformateur peut se faire de plusieurs façon pour finalement obtenir le même résultat.

Définition

D’après Wikipédia, un transformateur sert à transmettre de l’énergie depuis le circuit primaire vers un circuit secondaire par l’intermédiaire d’un circuit magnétique, souvent deux fils bobinés (solénoïdes) autour d’un tore en ferrite, en fer ou bien dans l’air. Ces deux circuits sont isolés galvaniquement mais couplés magnétiquement. La puissance transmise, aux pertes près, est la même du primaire au secondaire et on peut jouer sur le rapport de transformation m selon le nombre de spires n_1 et n_2 de chacun des solénoïdes ce qui joue sur les rapports de tensions et de courants des deux circuits :

m = \frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1}{I_2} = \frac{n_1}{n_2}

Pratique

Le schéma ci-desssous illustre un transformateur alimenté par une source quelconque e_0 possédant une impédance interne R_0 et chargé par une charge R_c. Ce transformateur est composé d’une inductance L_1 au primaire et L_2 au secondaire. La mutuelle inductance entre ces deux éléments est noté mp. p étant l’opérateur de Laplace qu’on écrit également j\omega.

Cette réalité peut se schématiser sous le formalisme de l’ATR ainsi :

La branche 1 représente la source et son impédance interne, les branches 2 et 3 le transformateur et la branche 4 la charge. La mutuelle, quant à elle, va s’exprimer sous la forme d’une « corde » qui va relier les primaire (2) et secondaire (3). Vu sous cet angle, on peut ainsi exprimer toutes les impédances dans une métrique des branches sous forme matricielle :

z_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -mp & 0 \\ 0 & -mp & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

Comme nous l’avons vu dans le billet précédent et pour utiliser à bon escient la MKME, il nous faut transformer cette métrique des branches en métrique des mailles à l’aide de la connectivité suivante :

C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Ce qui nous donne le résultat suivant :

    \[ Z_{ij} = C^T*M_b*C = \begin{bmatrix} 1+2 & -m \\ -m & 3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_0+L_1.p & -mp \\ -mp & L_2.p+Rc \end{bmatrix} \]

Il nous faut aussi mettre en places les sources (les efforts) de la même manière que les impédances, à la différence qu’il s’agit cette fois d’un (co)vecteur. Notre cas est très simple car nous n’avons qu’une seule source sur la branche 1 :

e_b = \begin{bmatrix} e_0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Ce qui va se traduire dans l’espace des mailles par le (co)vecteur suivant :

E_m = C^T*e_b*C = \begin{bmatrix} e_0 & 0 \end{bmatrix}

C’est super simple et avec un peu d’entraînement, on arrive très facilement à travailler directement dans l’espace des mailles. Vous remarquerez que j’utilise volontairement des lettres minuscules pour signifier l’appartenance des éléments dans l’espace des branches et des lettres majuscules pour l’espace des mailles. Mais maintenant que l’on a mis en forme notre système, quelle est l’étape suivante ?

Et bien, connaissant la métrique et les sources, la MKME va nous permettre de calculer les courants de maille (les flux) I^1 et I^2 en effectuant tout simplement une loi d’ohm sous forme matricielle :

I^n = \frac{E_m}{Z_{ij}} = Y^{ji}.E_m

Y^{ji} étant l’opérateur admittance, l’inverse de la métrique des mailles (opérateur impédance). Pour information, je le met ici mais je ne m’amuse pas à le calculer moi-même, j’utilise ici le logiciel Maxima et, nous le verrons plus tard, je laisse le soin aux commandes Python de la faire :

Y^{ji} =\begin{bmatrix}\frac{\mathit{Rc}+{{L}_{\mathit{2}}p}}{\left( \mathit{R0}+{{L}_{\mathit{1}}p}\right) \left( \mathit{Rc}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) -{{\mathit{mp}}^{2}}} & \frac{\mathit{mp}}{\left( \mathit{R0}+{{L}_{\mathit{1}}p}\right) \left( \mathit{Rc}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) -{{\mathit{mp}}^{2}}}\\ \frac{\mathit{mp}}{\left( \mathit{R0}+{{L}_{\mathit{1}}p}\right) \left( \mathit{Rc}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) -{{\mathit{mp}}^{2}}} & \frac{\mathit{R0}+{{L}_{\mathit{1}}p}}{\left( \mathit{R0}+{{L}_{\mathit{1}}p}\right) \left( \mathit{Rc}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) -{{\mathit{mp}}^{2}}}\end{bmatrix}

Cette parenthèse décrite, nous pouvons écrire formellement les courants de mailles I^1 et I^2 :

    \[ I^n =\begin{bmatrix}\frac{\left( \mathit{R_c}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) \mathit{e_0}}{\left( \mathit{R_0}+{{L}_{\mathit{1}}p}\right) \left( \mathit{R_c}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) -{{\mathit{mp}}^{2}}} & \frac{\mathit{e_0}\,\mathit{mp}}{\left( \mathit{R_0}+{{L}_{\mathit{1}}p}\right) \left( \mathit{R_c}+{{L}_{\mathit{2}}p}\right) -{{\mathit{mp}}^{2}}}\end{bmatrix}\]

Çà, c’est pour la partie théorique et formelle, un peu barbante mais indispensable lorsqu’on cherche à représenter des systèmes plus complexes. Dans le prochain article, je vous montrerais comment, à partir de cette partie théorique, exprimer numériquement les équations ci-dessus et à l’aide d’un PC et de l’environnement de développement (IDE) Anaconda, en langage Python. Cette numérisation permettra en quelques (mili-)secondes de calculer les courants I^1 et I^2 et à partir de là, calculer une fonction de transfert ou déterminer le rapport de transformation de notre transformateur, par exemple.

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